一种用于 Schrödinger 算子全局 Harnack 不等式的多点最大原理

本文引入了一种新的方法来证明黎曼流形上的全局抛物型 Harnack 不等式。我们专注于呈现对线性 Schrödinger 方程在非负 Ricci 曲率的黎曼流形 $M$ 上的正解满足的全局点 Harnack 不等式的新证明，其中势项 $V$ 受下界限制。我们的做法基于多点最大原理论证。标准证明（参见 Li-Yau [Acta Math, 1986]）依赖于首先建立梯度估计。这需要解在 $M$ 上至少为 $C^4$。我们直接证明 Harnack 不等式，从而避免了证明中对解的高阶导数的要求，使我们可以假设其在 $M$ 上仅为 $C^2$。在特定情况下，当 $V$ 为二次势 $V(x)=|x|^2$ 且 $M$ 为欧几里得空间 $\mathbb{R}^d$ 时，我们证明了一个具有更好常数的新的 Harnack 不等式。最后，我们处理带有梯度漂移项的 Schrödinger 方程的正解，包括对在 $\mathbb{R}^d$ 上的 Ornstein-Uhlenbeck 算子 $\Delta - x\cdot \nabla$ 带二次势的应用。