自由性的一种度量刻画

设 $\mathcal{M}$ 为有限 von Neumann 代数，$u_1,\dots,u_N$ 为 $\mathcal{M}$ 中的酉元。我们证明 $u_1,\dots,u_N$ 自由生成 $L(\mathbb{F}_N)$ 当且仅当 $$\left\|\sum_{i=1}^N u_i \otimes (u_i^{\mathrm{op}})^* + u_i^*\otimes u_i^{\mathrm{op}}\right\|_{\mathcal{M}\overline{\otimes}\mathcal{M}^{\mathrm{op}}} = 2\sqrt{2N - 1}.$$