基于 $\mathcal{C}^\infty$ 结构的 gKdV 方程旅行波解方法

本文应用一种新颖的几何方法来描述广义 Korteweg--de Vries (gKdV) 方程旅行波解的问题，其形式为 $$u_t + u_{xxx} + a(u)u_x = 0,$$ 其中 $a(u)$ 为描述非线性性质的光滑函数。通过采用旅行波假设，gKdV 方程可化为常微分方程 (ODE)，本文采用基于 $\mathcal{C}^\infty$ 结构的方法对其进行分析，这是一种涉及一系列共轭分布和 Pfaff 方程的几何框架。从对称 $\partial_z$ 开始，我们构建了该 ODE 的 $\mathcal{C}^\infty$ 结构，并应用分步积分算法获得隐式一般解。随后我们推导了针对特定形式的 $a(u)$ 的显式解，包括改型 KdV 方程、Schamel--KdV 方程以及幂律非线性。