广义 Hermitian 代数的 Loomis-Sikorski 定理与泛函演算

广义 Hermitian (GH-) 代数是希尔伯特空间上所有 Hermitian 算子的偏序 Jordan 代数的推广。我们引入了 gh-族的概念，这是一种定义在非空集合 $X$ 上的函数的交换 GH-代数，具有逐点偏序和运算，并证明了每个交换 GH-代数都是某个 gh-族在满射 GH-同态下的像。利用这一结果，我们证明了 GH-代数 $A$ 的每个元素 $a$ 都对应于 $A$ 中投影的 $\sigma$-正交模格上的一个实可观测量 $\xi_a$，且 $\xi_a$ 决定了 $a$ 的谱分解。此外，如果 $f$ 是定义在 $a$ 的谱上的连续函数，我们制定了 $f(a)$ 的定义，从而获得了 $A$ 的连续泛函演算。