闭弦、自旋链与规范理论的李代数

我们考虑自由度由 $N \times N$ 矩阵描述、在平面极限 $N \to \infty$ 下的量子动力学系统。例子有规范理论和弦的 M(atrix)-理论。在 U(N) 下不变的状态是“闭弦”，由矩阵乘积的迹来建模。我们发现作用于开弦和闭弦态上的 U(N)-不变算符构成一个引人注目的新李代数，我们称之为 heterix 代数。（最简单特例，具一个自由度，是 Virasoro 代数由无穷维一般线性代数的扩张。）进而，这些只作用于闭弦态的算符构成 heterix 代数的一个商代数。我们称此商代数为 cyclix 代数。我们将某些规范场论（如具伴随物质场和维数约化纯 QCD 模型者）的哈密顿量表达为该李代数中的元素。最后，我们应用此 cyclix 代数建立某些平面矩阵模型与量子自旋链系统间的同构。由此我们得到一些在平面极限可解的矩阵模型；例如，与 Ising 模型、XYZ 模型、满足 Dolan-Grady 条件的模型以及手征 Potts 模型相关联的矩阵模型。因而我们的 cyclix 李代数描述了量子自旋链系统、大 N 规范场论和弦的 M(atrix)-理论的动力学对称性。