三维球面临界复形的 Kuratowski 型分类

我们给出了一类由图定义的、针对三维球面可嵌入性的极小分段线性阻碍的 Kuratowski 型分类。一个有限单纯复形 $X$ 被称为 $S^3$ 的临界复形，如果 $|X|$ 不能嵌入 $S^3$，而在 $X$ 的第二次重心加细中删除任意单纯形的开星后所得到的多面体可嵌入 $S^3$。主定理完整分类了形如 $(G\times S^1)\cup H$ 的临界复形，其中 $G$ 和 $H$ 是图，且 $H$ 附着在 $G\times S^1$ 分支集的顶点上。我们证明了在同胚意义下恰好存在七个这样的复形：两个 $K_4$ 型复形，四个 $\Theta_4$ 型复形，以及一个 $K_{2,3}$ 型复形。证明本质上是组合的。通过坍缩 $G\times S^1$ 的 $S^1$ 因子，我们将一个归约图 $\widehat X=G\cup H$ 关联于 $X$。临界性意味着 $H$ 是森林，$G$ 是可平面图，且 $\widehat X$ 是包含极小的非可平面图。因此，Kuratowski 定理将该分类归约为 $K_5$ 和 $K_{3,3}$ 两种情形。对森林附着的有限分析，连同可嵌入性的面关联准则，恰好留下了上述列出的七个模型。我们还证明了，$S^3$ 中每个不可嵌入的正则多分支曲面都包含一个形如 $M\cup H$ 的临界子复形，其中 $M$ 是正则多分支曲面，$H$ 是图。