由 $k$-树生成的对换网络的一种条件连通性

对于图 $G = (V, E)$，子集 $F\subset V(G)$ 称为 $G$ 的 $R_k$-点割，如果 $G -F$ 不连通且每个顶点 $u \in V(G)- F$ 在 $G -F$ 中至少有 $k$ 个邻居。$G$ 的 $R_k$-点连通性，记为 $\kappa^k(G)$，是 $G$ 的最小 $R_k$-点割的基数，这是对网络 $G$ 容错性的一种精细化度量。本文研究由 $k$-树生成的 Cayley 图的 $\kappa^2$。设 $Sym(n)$ 为 $\{1, 2, \cdots ,n\}$ 上的对称群，$\mathcal{T}$ 为 $Sym(n)$ 的对换集合。设 $G(\mathcal{T})$ 为顶点集 $\{1, 2, . . . ,n\}$ 上的图，使得 $G(\mathcal{T})$ 中存在边 $ij$ 当且仅当对换 $ij\in \mathcal{T}$。图 $G(\mathcal{T})$ 称为 $\mathcal{T}$ 的对换生成图。记 $Cay(Sym(n),\mathcal{T})$ 为由 $G(\mathcal{T})$ 生成的 Cayley 图。若 $G(\mathcal{T})$ 是 $k$-树，则 Cayley 图 $Cay(Sym(n),\mathcal{T})$ 记为 $T_kG_n$。本文确定了 $\kappa^2(T_kG_n)$。树是 $1$-树，$n$ 个顶点上的完全图是 $n-1$-树。因此，在这个意义上，本文是对换生成树生成的 Cayley 图和完全对换图上相关结果的推广。