星形体上赋值的类若尔当分解定理

我们证明每个定义在 n 维星形体 $\mathcal S_0^n$ 上并满足 $V(\{0\})=0$ 的径向连续赋值 $V:\mathcal S_0^n\rightarrow \mathbb R$，可分解为和 $V=V^+-V^-$，其中 $V^+$ 与 $V^-$ 均为 $\mathcal S_0^n$ 上的正径向连续赋值，且 $V^+(\{0\})=V^-(\{0\})=0$。作为一个应用，我们证明 $\mathcal S_0^n$ 上的径向连续旋转不变赋值 $V$ 可表征为在星形体上可写为 $$V(K)=\int_{S^{n-1}}\theta(\rho_K)dm,$$ 其中 $\theta:[0,\infty)\rightarrow \mathbb R$ 为连续函数，$\rho_K$ 为与 $K$ 关联的径向函数，$m$ 为 $S^{n-1}$ 上的勒贝格测度。这完善了第二作者近期的工作，其中对正径向连续旋转不变赋值证明了类似结果。