有限族交换半群的全纯泛函演算

设 A 为一交换 Banach 代数，满足对于 u $\in$ A \ {0} 有 uA = {0}，且具有稠密主理想。本文旨在给出一个一般框架以定义 F(--$\lambda$1$\Delta$T 1 ,. .. , --$\lambda$ k $\Delta$T k)，其中 F 属于定义在 $\mathbb{C}^k$ 的适当开子集上的自然全纯函数类，这些开子集包含 (--$\lambda$1$\Delta$T 1 ,. .. , --$\lambda$ k $\Delta$T k) 的“Arveson 谱”，其中 $\Delta$T 1 ,. .. , $\Delta$T k 是 A 上属于以下类别之一的乘子交换单参数半群的无穷小生成元：(1) 强连续半群类 T = (T (te ia)t>0，使得 $\cup$t>0T (te ia)A 在 A 中稠密，其中 a $\in$ $\mathbb{R}$。(2) 在开扇形 S a,b 上全纯的半群类 T = (T ($\zeta$)) $\zeta$$\in$S a,b，使得对于某个或等价地对于所有 $\zeta$ $\in$ S a,b，T ($\zeta$)A 在 A 中稠密。我们使用作者于 1981 年在长滩 Banach 代数会议上引入的拟乘子概念：所考虑半群的无穷小生成元将被定义为 A 上的拟乘子，且对于 Arveson 预解集 $\sigma$ar($\Delta$T) 中的 $\zeta$，预解式 ($\Delta$T -- $\zeta$I) --1 将被定义为 A 上的正则拟乘子，即 A 上的拟乘子 S，满足对于某个 $\lambda$ > 0 以及某个生成 A 的稠密理想且属于 S n (n $\ge$ 1) 定义域交集的 u，有 sup n$\ge$1 $\lambda$ n S n u < +$\infty$。第一步包括对 Banach 代数 A 进行“归一化”，即将 A 连续嵌入到一个 Banach 代数 B 中，B 具有与 A 相同的拟乘子代数，但如果 T 属于类别 (1)，则满足 lim sup t$\rightarrow$0 + T (te ia) M(B) < +$\infty$；如果 T 属于类别 (2)，则对于满足 a < $\alpha$ < $\beta$ < b 的所有对 ($\alpha$, $\beta$)，满足 lim sup $\zeta$$\rightarrow$0 $\zeta$$\in$S $\alpha$,$\beta$ T ($\zeta$) < +$\infty$。迭代此过程可将 ($\lambda$j$\Delta$T j + $\zeta$I) --1 视为 M(B) 中的元素，其中 $\zeta$ $\in$ Resar(--$\lambda$j$\Delta$T j) 为 --$\lambda$j$\Delta$T j 的“Arveson 预解集”，并且即使给定半群在原点附近无界，也可使用标准的积分“预解公式”。泛函演算的第一种方法涉及在附录 2 中描述的快速衰减函数代数的对偶 G a,b。设 a = (a1,. .. , a k), b = (b1,. .. , b k)，其中 aj $\le$ bj $\le$ aj + $\pi$，并记 M a,b 为满足 1