虚拟纽结理论的几何基础

虚拟纽结以图表方式定义为一组称为虚拟纽结图的图象的集合，这些图象在扩展 Reidemeister 移动的有限序列下被视为等价。相比之下，$\mathbb{R}^3$ 中的纽结可几何地定义，它们是纽结空间 $\mathbb{K}$ 中的点。纽结空间具有拓扑，使等价纽结位于同一道路连通分支中。本文旨在利用层论为虚拟纽结得到一个完全几何的模型。该几何模型形式化了如下直观概念：虚拟纽结是居于可变环境空间中的真实纽结；通常的图表理论如同经典情形般随之而来。为此，我们证明存在一个站点 $(\textbf{VK}, J_{\textbf{VK}})$，使其层范畴 $\text{Sh}(\textbf{VK},J_{\textbf{VK}})$ 可自然解释为“虚拟纽结空间”。该 Grothendieck 拓扑中的一个点，即一个几何态射 $\textbf{Sets} \to \text{Sh}(\textbf{VK})$，就是一个虚拟纽结。虚拟同痕关系由该空间中的道路生成，或更确切地说，由几何态射 $\text{Sh}([0,1]) \to \text{Sh}(\textbf{VK},J_{\textbf{VK}})$ 生成。取值于离散拓扑空间 $\mathbb{G}$ 的虚拟纽结不变量是几何态射 $\text{Sh}(\textbf{VK},J_{\textbf{VK}}) \to \text{Sh}(\mathbb{G})$，正如取值于 $\mathbb{G}$ 的经典纽结不变量是连续函数 $\mathbb{K} \to \mathbb{G}$。经典纽结到虚拟纽结的嵌入也实现为一个几何态射。