Floater–Hormann 插值子的一种推广

本文推广了 Floater 与 Hormann 引入的插值有理函数，得到了一类依赖于附加正整数参数 $\gamma$ 的全新有理函数族。当 $\gamma = 1$ 时，得到原始的 Floater–Hormann 插值子。当 $\gamma>1$ 时，我们证明这些新有理函数具有原始 Floater–Hormann 函数的诸多良好性质。事实上，对于紧区间上任意节点构型，它们无实极点、插值给定数据、保持至某固定次数的多项式，并具有重心型表示。此外，我们用相邻两节点间的最小距离（$h^*$）与最大距离（$h$）估计了相应的 Lebesgue 常数。结果表明，与原始 Floater–Hormann 插值子不同，对所有 $\gamma > 1$，在等距与拟等距节点构型下（即 $h\sim h^*$ 时）我们得到一致有界的 Lebesgue 常数。对于此类构型，当节点数趋于无穷时，我们证明新插值子（$\gamma>1$）对任意连续函数 $f$ 及所有 $\gamma>1$ 一致收敛于被插值函数 $f$。原始 FH 插值子（$\gamma=1$）则不能保证这一点。此外，我们对具有不同光滑度程度的函数给出了逼近误差的一致与逐点估计。数值实验说明了理论结果，并显示出相比原始 Floater–Hormann 插值子，对光滑性较差的函数具有更优的误差分布。