具有独立数字的连分数的维数间隙——非平稳情形

我们证明存在一个常数 $0<c_{0}<1$，使得 $[0,1]$ 上使得连分数展开中的数字独立的每一个测度的维数至多为 $1-c_{0}$。这推广了 Kifer、Peres 和 Weiss 于 2001 年的一个结果，该结果在平稳性的附加假设下确立了这一结论。对于 $k\ge1$，我们证明了在数字构成 $*$-混合 $k$ 步 Markov 链的测度下的类似命题。这也被推广到 $f$-展开的情形。此外，我们对每个 $k$ 构造了一个测度，使得连分数数字成为平稳且 $*$-混合的 $k$ 步 Markov 链，其维数至少为 $1-2^{3-k}$。