深入探究 $2g+h$ 共振：导航卫星的 separatrix、流形与相空间结构

尽管已有大量既往研究，关于中地球轨道（MEO）区域共振结构的若干疑问至今未解。本文深入描述了 $2g+h$ 日-月共振的效应。具体而言：（i）我们在固定半长轴的倾角-偏心率空间中计算了共振 separatrix 的正确形式。由此可计算随着高度增加 $2g+h$ 共振宽度的变化。（ii）我们讨论了 Laplace 平面倾角 $i_{L}$ 值的关键作用。由于 $i_L$ 与共振 separatrix 宽度相当，所有共振分岔的参数化必须依据固有倾角 $i_{p}$ 而非平均倾角进行。（iii）圆轨道子集构成嵌入全相空间的不变子空间，即中心流形 $\mathcal{C}$。以 $i_p$ 为标号，我们计算了使 $\mathcal{C}$ 成为正规双曲不变流形（NHIM）的取值区间。$\mathcal{C}$ 中不变环面的结构可解释多篇文献中所注意到的初始相位 $h$ 的作用。（iv）通过快速 Lyapunov 指示符（FLI）制图，我们刻画了随着高度增加的 NHIM 稳定与不稳定流形。由于 $h-\Omega_{\rm{Moon}}$ 与 $2h-\Omega_{\rm{Moon}}$ 共振对 $2g+h$ 共振的扫掠，在 $a=24,000$ km 与 $a=30,000$ km 之间的相空间中流形振荡占主导。后者的显著效应被解释为月球轨道相对于黄道的相对倾角所致。FLI 图中观测结构里相位 $(h,\Omega_{\rm{Moon}})$ 的作用亦得以阐明。最后，（v）我们讨论了流形动力学的理解如何启发寿命终止处置策略。