Khinchin-Ostrowski 性质的临界主函数

在本短文中，我们证明了一个经典结果的最优版本。给定决定函数在单位圆 $\mathbb{D}$ 上生长限制的主函数，我们说集合 $E$ 在单位圆 $\mathbb{T}$ 上是唯一集，或者说具有Khinchin-Ostrowski 性质，相对于该主函数，如果任何满足生长限制的解析多项式序列在 $E$ 上的以适当的方式收敛到 $0$，则它们实际上也被迫收敛到 $\mathbb{D}$ 中的 $0$。Kegejan 和 Khrushchev 所证明的定理表明，如果 $E$ 具有正 Lebesgue 测度并满足广义 Beurling-Carleson 条件，则对于适当的主函数，Khinchin-Ostrowski 性质将被满足。Khrushchev 证明中的一个技术性问题是需要对 Privalov 类型域中的调和测度进行估计，这要求主函数具有对数可积性。这使得他的结果无法应用于某些类型的广义 Beurling-Carleson 条件。本文摆脱了对主函数对数可积性的假设。为此，我们使用一种 Joukowski-Privalov 域，该域通过删除单位圆中由 $E$ 补紧区间端点的双曲测地线所包围的区域而获得。对于这种类型的域，Khrushchev 的方法适用，但可以通过简单明确的共形映射公式更准确地估计调和测度。因此，我们找到了Beurling-Carleson 类型条件停止确定集合 Khinchin-Ostrowski 性质的临界主函数，以及超过该阈值后，区间包含性质成为唯一相关特征的临界值。我们还讨论了 Khinchin-Ostrowski 性质的加权版本，并将结果用于确立一种单边谱衰减条件的惊人精确度，该条件检测函数的局部对数可积性。