对《Kolmogorov 方程的最优正则性结果及若干临界 SPDE 的弱唯一性》的修正

我们证明了临界 SPDE \begin{eqnarray} \label{qq1} dX_t = AX_t dt + (-A)^{1/2}F(X(t))dt + dW_t,\;\; X_0 =x \in H, \end{eqnarray} 的分布唯一性，其中 $A$ $: \text{dom}(A) \subset H \to H$ 是可分 Hilbert 空间 $H$ 上具迹类 $A^{-1}$ 的负定自伴算子，$W$ 是 $H$ 上的柱 Wiener 过程。此处 $F: H \to H$ 可局部 Hölder 连续且至多线性增长（某些增长快于线性的函数 $F$ 也可考虑）。这为广义随机 Burgers 方程和三维随机 Cahn-Hilliard 型方程带来了新的唯一性结果，它们具有有趣的应用。我们不知道在仅假设 $F$ 连续加增长条件（如 [Priola, Ann. of Prob. 49 (2021)] 所述）下唯一性是否成立。为获得弱唯一性，我们使用无限维局部化原理，以及当 $F = z \in H$ 为常数且 $\lambda >0$ 时与该 SPDE 关联的 Kolmogorov 方程 $\lambda u - L u = f$ 的最优正则性结果。该最优结果类似于 [Da Prato, J. Evol. Eq. 3 (2003)] 中的定理。