Kolmogorov 方程的最优正则性结果及某些临界 SPDE 的弱唯一性

我们证明了临界 SPDE $$dX_t = AX_t dt + (-A)^{1/2}F(X(t))dt + dW_t,\;\; X_0 =x \in H,$$ 的解的规律唯一性，其中$A$ $: dom(A) \subset H \to H$是可分 Hilbert 空间$H$上的负定自伴算子，其$A^{-1}$为迹类，$W$是$H$上的柱面 Wiener 过程。这里$F: H \to H$可以是具有至多线性增长的连续函数（某些增长快于线性的函数也可考虑）。这给出了广义随机 Burgers 方程和三维随机 Cahn-Hilliard 型方程的新唯一性结果，它们有有趣的应用。为得到弱唯一性，我们还建立了$H$上 Kolmogorov 方程$\lambda u - Lu = f$的新最优正则性结果，其中$\lambda >0$，$f: H \to {\mathbb R}$为有界 Borel 函数，$L$是$F=0$时与 SPDE 相关的 Ornstein-Uhlenbeck 算子。特别地我们证明一阶导数$Du : H \to H$满足对任意$x \in H$有$Du(x) \in \text{dom}((-A)^{1/2})$，并且$$\sup_{x \in H} |(-A)^{1/2}Du (x)|_H = \| (-A)^{1/2}Du \|_{0} \le C \, \| f\|_{0}.$$