椭圆分布的 Cramér-Wold 定理

根据 Cramér 与 Wold 的一个著名定理，若 $P$ 和 $Q$ 是 $\mathbb{R}^d$ 上的两个 Borel 概率测度，且它们到 $\mathbb{R}^d$ 中每条直线 $L$ 上的投影 $P_L,Q_L$ 满足 $P_L=Q_L$，则 $P=Q$。我们的主要结果是，若 $P$ 和 $Q$ 均为椭圆分布，则为了证明 $P=Q$，只需对某一组 $(d^2+d)/2$ 条直线 $L$ 验证 $P_L=Q_L$。此外 $(d^2+d)/2$ 是最优的。椭圆分布类包含高斯分布以及许多其他受关注的多变量分布。我们的定理与其他 Cramér-Wold 定理变体形成对比，在于不对 $P$ 和 $Q$ 的矩的有穷性作任何假设。我们利用所得结果推导了一个用于检验椭圆分布相等的统计检验，并对该检验进行了小型模拟研究，将其与文献中的其他检验进行比较。我们还给出了一个在学习（二分类）中的应用，同样以小型模拟加以说明。