随机多胞形、Dirichlet-Voronoi 剖分数与几何球箱问题的集中不等式

我们的主要贡献是：对于任意具有正密度函数的边界上的概率测度，给出了具有正高斯曲率的 $C^2$ 凸体与一个具有受限面数的外接随机多胞形的对称体积差的集中不等式。我们还证明了 Dirichlet-Voronoi 剖分数满足 $\text{div}_{n-1} = (2\pi e)^{-1}(n+\ln n) + O(1)$，这将 Zador 的一个经典结果改进了 $o(n)$ 的因子。此外，我们提出了一个引人注目的开放问题，它是概率论中著名且基础的“球与箱”问题的自然几何推广。该问题与高维中随机多胞形的最优性紧密相关。