带状箭头复形与 $\mathcal{M}_{g,m}$

对于任意整数 $d\in \mathbb{Z}$，我们引入了一个由具有 $m$ 个标记边界的亏格 $g$ 带状箭头张成的复形 $\mathsf{ORGC}_{d}^{(g,m)}$，并证明其上同调计算了（相差一个度数移位）具有 $m$ 个标记点的亏格 $g$ 代数曲线的模空间 $\mathcal{M}_{g,m}$ 的紧支撑上同调。我们证明了复形总和 $$\mathsf{orgc}_{d}= \prod_{g\geq 1} \mathsf{ORGC}_{d}^{(g,1)}{\simeq} \prod_{g\geq 1} H_c^{\bullet-1+2g(d-1)}(\mathcal{M}_{g,1})$$ 具有自然的 dg 李代数结构，该结构控制着 dg properad $\mathcal{P}re\mathcal{CY}_d$ 的形变理论，而后者支配着某一类（可能是无限维的）$d$ 次 pre-Calabi-Yau 代数。这一结果特别意味着，对于 $d\leq 2$，导子复形 $\mathrm{Der}(\mathcal{P}re\mathcal{CY}_d)$ 的第零上同调群是一维的（即除了缩放之外，$\mathcal{P}re\mathcal{CY}_{d\leq 2}$ 没有同伦非平凡的自同构），而对于 $d=2$，上同调群 $H^1(\mathrm{Der} (\mathcal{P}re\mathcal{CY}_2))$ 包含一个与 Grothendieck-Teichm\"uller 李代数同构的子空间。