Biane和Chapuy公式的组合证明

设 $G$ 为一个简单强连通带权有向图。令 $\mathcal{G}$ 表示 $G$ 的生成树图。即，$\mathcal{G}$ 的顶点由 $G$ 上的有向根生成树组成，且 $\mathcal{G}$ 的边由树对 $(t_i, t_j)$ 组成，使得 $t_j$ 可通过从 $t_i$ 的根向 $t_j$ 的根添加边并删除 $t_j$ 的根的出边而从 $t_i$ 得到。近期 Biane 和 Chapuy 给出了 $\mathcal{G}$ 上有向根生成树的权重和与 $G$ 上有向根生成树的权重和之比的公式。我们提供了该公式的一个替代证明，既简单又组合。证明涉及处理不可约马尔可夫链的随机 zeta 函数。通过推广随机 zeta 函数，我们还恢复了 Biane 和 Chapuy 的一般结果，该结果给出了 $\mathcal{G}$ 上对应于 $G$ 上给定薛定谔矩阵的薛定谔矩阵行列式公式，用后者的子式表示。