作为直积的好奇伽罗瓦群的分类

设$N$为正整数。设$\operatorname{H}$为水平$N$的群，设$E$为定义在有理数上的椭圆曲线且$\textit{j}_{E} \neq 0, 1728$。则附属于$E$的模$N$伽罗瓦表示$\overline{\rho}_{E,N}\left(\operatorname{Gal}\left(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\right)\right)$的像共轭于$\operatorname{H}$的子群，当且仅当$E$对应于由$\operatorname{H}$生成的模曲线$\operatorname{X}_{\operatorname{H}}$上的非尖点有理点。在本文中，我们关注$\overline{\rho}_{E,N}(G_{\mathbb{Q}})$恰好为$\operatorname{H}$的情形。更确切地说，我们分类所有作为子群$\operatorname{H}$的直积的群$\operatorname{H}$，使得$\operatorname{X}_{\operatorname{H}}$包含无穷多个非尖点有理点，但不存在椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$使得$\overline{\rho}_{E,N}\left(\operatorname{Gal}\left(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\right)\right)$共轭于$\operatorname{H}$。