一类非Mackey的可度量化局部拟凸群

来自MAP拓扑阿贝尔群类$\mathcal G$的拓扑群$(G,\mu)$如果具有以下性质，则称为$\mathcal G$中的{\it Mackey群}：若$\nu$是$G$上的一个群拓扑，使得$(G,\nu)\in \mathcal G$且$(G,\nu)$具有相同的连续特征，即$(G,\nu)^{\wedge}=(G,\mu)^{\wedge}$，则$\nu\le \mu$。如果$\rm{LCS}$是承认$\mathbb R$上局部凸拓扑向量空间结构的Hausdorff拓扑阿贝尔群类，则众所周知每个可度量化的$(G,\mu) \in \rm{LCS}$都是$\rm{LCS}$中的Mackey群。对于局部拟凸Hausdorff拓扑阿贝尔群类$\rm{LQC}$，1999年证明了每个{\bf 完备}可度量化的$(G,\mu)\in \rm{LQC}$都是$\rm{LQC}$中的Mackey群（\cite{CMPT}）。正如我们在本文中证明的，在$\rm{LQC}$类中完备性不能\NB去掉。事实上，我们提供了一大族可度量化的预紧\NB（非紧）群，它们{\bf 不是}$\rm{LQC}$中的Mackey群（定理\ref{basth}）。这些例子由形如$c_0(X)$的群构造，其元素是拓扑阿贝尔群$X$的零序列，拓扑是一致拓扑。我们首先证明，对于紧可度量化群$X\ne\{0\}$，拓扑群$c_0(X)$是一个非紧的完备可度量化局部拟凸群，当且仅当$X$连通时它具有{\bf 可数}拓扑对偶。然后我们证明，对于连通紧可度量化群$X\ne\{0\}$，赋予从乘积$X^{\N}$诱导的乘积拓扑的群$c_0(X)$是可度量化的预紧群，但不是LQC中的Mackey群。