弱Schreier单态扩张的刻画

具有核 $k \colon N \to G$、余核 $e \colon G \to H$ 和分裂 $s \colon H \to G$ 的单态分裂扩张，若存在唯一的集合论映射 $q \colon G \to N$ 使得对所有 $g \in G$ 有 $g = kq(g) \cdot se(g)$，则称为Schreier扩张。Schreier扩张已有完整刻画，并已被证明对应于 $H$ 在 $N$ 上的单态作用。若放宽 $q$ 的唯一性要求，所得分裂扩张称为弱Schreier扩张。这类扩张的一个自然例子是框架的Artin粘合。本文给出 $H$ 被 $N$ 的弱Schreier扩张的完整刻画，证明它们等价于 $N \times H$ 的某些商与一个相对于该商表现得像作用的函数配对。此外，我们展示了分裂短五引理在此情形下的失效，并给出弱Schreier扩张之间出现的态射的完整刻画。最后，我们利用该刻画构造了若干类弱Schreier扩张的例子。