素数 $v$-回文数的刻画

整数 $n\geq 1$ 称为 $v$-回文数，若其不是 $10$ 的倍数，也不是十进制回文数，且 $n$ 的素因数分解中大于 $1$ 的素因子与相应指数之和，等于将其十进制数字反转所得整数的对应和。例如，取 198 与其反转 891，它们的素因数分解分别为 $198 = 2\cdot 3^2\cdot 11$ 与 $891 = 3^4\cdot 11$，将各分解中出现的数字求和均得 18。这意味着 198 与 891 是 $v$-回文数。我们建立了素数 $v$-回文数的刻画：它们恰为形如 $(5 \cdot 10^m - 3, 5 \cdot 10^m - 1)$ 的双素数对中的较大者，因此关于双素数分布的标准猜想意味着素数 $v$-回文数只有有限多个。