通过命中时间与极大不等式刻画 $L_{2}$ 混合与超收缩性

已有若干工作通过诸如停时和命中时间等自然概率概念刻画了可逆 Markov 链的全变差混合时间。相比之下，$L_{2}$ 混合时间 $\tau_{2}$ 尚无已知的类似结果（虽然存在复杂的解析工具来界定 $\tau_2$，但通常它们无法在常数因子内确定 $\tau_2$，且缺乏概率解释）。在本工作中，我们证明可以利用命中时间分布在常数因子内刻画 $\tau_2$。我们还推导出 Log-Sobolev 常数 $c_{\mathrm{LS}}$ 的一种新的极值刻画，将其视为谱隙的加权版本。该刻画通过命中时间版本的超收缩性给出了 $c_{\mathrm{LS}}$ 的概率解释。作为结果的应用，我们证明： 对于每个可逆 Markov 链，$\tau_2$ 在添加具有有界权重的自环时具有稳健性； 对于树上加权的最近邻随机游走，$\tau_2$ 在边权重的有界扰动下具有稳健性。