熵作为泛单调自然变换的刻画

我们表明熵的本质性质（单调性、可加性与次可加性）是熵作为从欠范畴函子 $-/\mathsf{LProb}_{\rho}$（其中 $\mathsf{LProb}_{\rho}$ 为 $\rho$ 次幂可和概率分布范畴，$0<\rho<1$）到 $\Delta_{\mathbb{R}}$ 的单调自然变换的推论。此外，香农熵可刻画为从 $-/\mathsf{LProb}_{\rho}$ 到整闭偏序阿贝尔群范畴（单调范畴 2-范畴 $\mathsf{MonCat}_{\ell}$ 上松弛切片 2-范畴的反射子范畴）的泛单调自然变换，从而给出香农熵作为反射箭头的简洁刻画。我们同样可通过反射箭头为每一个在其欠范畴上具有单调结构的单调范畴（如有限阿贝尔群范畴、有限非空集合范畴、有限维向量空间范畴以及增广单纯范畴）定义熵。这意味着这些不同范畴上的所有熵都是单一自然变换（幂等单子的单位）的分量，使我们能以自然方式联系这些熵。我们还基于链式法则给出了条件香农熵的泛刻画，与 Baez、Fritz 和 Leinster 的信息损失刻画不同，其不要求任何连续性假设。