具有多顶点的光滑 Fano 多面体分裂的一个界

具有大 Picard 数的环面 Fano 流形的分类对应于具有大量顶点的光滑 Fano 多面体的分类。光滑 Fano 多面体是指内部包含原点且每个面的顶点集构成格基的多面体。Casagrande 证明了任何 $d$ 维光滑 Fano 多面体最多有 $3d$ 个顶点。具有至少 $3d-2$ 个顶点的 $d$ 维光滑 Fano 多面体已完全知晓。本文的主要结果处理了 $k$ 固定且 $d$ 较大时 $3d-k$ 个顶点的情形。这意味着对于任意 $d$，Picard 数为 $2d-k$ 的环面 Fano $d$-fold $X$ 的同构类只有有限个，其中 $X$ 不是低维环面 Fano 流形与在三个环面不变点处爆破的射影平面的乘积。这验证了第一作者、Joswig 和 Paffenholz 近期一篇论文中猜想的定性部分。