非局部 Kuramoto-Sivashinsky 方程的分岔理论方法

我们研究一维环面上的非局部 Kuramoto-Sivashinsky 方程，$$u_t+u u_x=\Lambda^{r}u-\varepsilon \Lambda^{s}u,\qquad x\in\mathbb T,$$ 其中 $\varepsilon>0$，$s>1$，$r\in[-1,s)$。我们首先证明了 $H^{3}(\mathbb T)$ 中初始数据的局部和全局适定性。然后，我们研究稳态问题，并证明平凡分支在临界值 $\varepsilon_k=k^{\,r-s}$（$k\in\mathbb N$）处发生分岔。利用 Crandall-Rabinowitz 定理，我们获得了从每个 $(\varepsilon_k,0)$ 发出的非平凡平衡点的光滑局部曲线，并计算了分岔方向。为了解决这些分支的全局延拓问题，我们推导了全局先验界，并应用基于 Fitzpatrick-Pejsachowicz-Rabier 度的指标零 Fredholm 映射的全局替代方案。特别地，对于从第一个临界点分岔的分量，我们证明其 $\varepsilon$-投影包含区间 $(2^{r-s},1)$，从而在该参数范围内产生非平凡稳态的存在性。我们用数值延拓结果补充了理论，说明了分岔图和解的轮廓。