Steinhaus 混沌的 $6$ 阶范数

我们证明对于 Steinhaus 随机变量 $z(n)$，有 $$\mathbb{E}\left(\left|\sum_{n\in E_{N, m}}z(n)\right|^6\right)\asymp |E_{N, m}|^3 \text{ for } m\ll(\log\log N)^{\frac{1}{3}},$$ 其中 $$E_{N, m}:=\{1\leq n:\Omega(n)=m\}$$ 且 $\Omega(n)$ 表示 $N$ 的素因子个数。