$(2,2)$-着色与无团 $\sigma$-超图

我们考虑 $r$-一致超图 $H$ 的经典意义下的顶点着色，即没有边的所有顶点被赋予相同颜色，以及 $H$ 的 $(2,2)$-着色，其中任意边中的顶点被恰好赋予两种颜色。这是 Bujtas 和 Tuza 引入的约束着色的一个特例，而后者又是 Voloshin 的混合超图着色的推广。我们研究了 $\chi(H)$（经典色数）和 $H$ 的 $(2,2)$-谱，即 $H$ 存在使用恰好 $k$ 种颜色的 $(2,2)$-着色的整数 $k$ 的集合。我们提出了超图的扩展，这些扩展同时保持了色数和 $(2,2)$-谱，然而尽管经常被重复，它们使 $H$ 的团数增加不超过一个固定数值。特别是，我们展示了具有任意大色数的稀疏 $(2,2)$-可着色无团 $\sigma$-超图——这些 $r$-一致超图已在作者早期的论文中研究过。我们利用这些思想扩展了一些已知的 $3$-一致超图，这些超图展现出具有显著间隙的 $(2,2)$-谱。我们相信，这项工作首次提出了一种同时保持 $\chi(H)$ 和 $H$ 的 $(2,2)$-谱的超图扩展。