全局域整数环的多项式作用及帕利图的准随机性

本文旨在深入研究 Furstenberg--S\'ark"ozy 定理背后的现象，该定理的现代形式归功于 Kamae 和 Mend\`es-France，指出如果 $E$ 是一个具有正密度的整数集合且 $P$ 是一个可相交多项式，则存在 distinct elements $x, y \in E$ 使得 $x - y = P(n)$ 对于某个 $n$。在本文中，我们识别了一个代数框架（全局域整数环）用于 Furstenberg--S\'ark"ozy 类型定理。我们的主要结果之一建立了多项式满足全局域整数环上的 Furstenberg--S\'ark"ozy 定理的必要充分条件，提供了 Kamae 和 Mend\`es-France 结果的扩展。Furstenberg--S\'ark"ozy 现象超越了无限环，在有限环中具有有趣的额外方面。例如，可以使用经典指数和估计显示，大型有限域子集包含 asymptotically ``正确'' 数量的对 $(x,y)$ 使得它们的差是一个平方。在先前的工作中，满足此强形式 Furstenberg--S\'ark"ozy 定理于有限域的多项式类被分类。在本文中，我们建立了描述产生 ``正确'' 统计的有限主理想环序列的渐近结果，表明这些家族远比有限域更广泛。作为我们增强形式 Furstenberg--S\'ark"ozy 定理于有限环的应用，我们产生了 algebraic origin 的新型准随机图家族。这些新示例的产生依赖于渐近总 ergodicity——负责增强形式 Furstenberg--S\'ark"ozy 定理于有限域和环的现象——与准随机性之间的双向联系。