正密度子集中的定量扭曲模式

我们对近期获得的关于某些二次型及其他齐次多项式下大差集像的结构结果作出了定量改进。先前的证明使用了 Benoist-Quint 关于 $\operatorname{SL}_r(\mathbb{Z})$（这些二次型的对称群）某些子群中随机游走的深刻结果，而这些结果并非定量的。我们的新观察依赖于注意到：与其研究随机游走，不如通过考虑这些群作用的多项式轨道（且这些轨道不包含于 $\mathbb{Z}^r$ 小指数子模的陪集中）来获得更定量的结果。我们新的主要技术工具是一个一致的 Furstenberg-Sárközy 定理，它适用于一大类未必在零处消失的多项式，这可能具有独立意义，并由密度增量论证及华罗庚关于多项式指数和的界导出。