无限维空间中的热算子

设 (H,B) 为一个抽象 Wiener 空间，$\mu_{s}$ 为 B 上方差为 s 的高斯测度。设 $\Delta$ 为 Laplacian (*非* 数算子)，即与 H 的正交基相关联的导数平方和。我将证明热算子 $\exp(t\Delta/2)$ 是一个从 $L^2(B,\mu_{s})$ 到 $L^2(B,\mu_{s-t})$ 的压缩算子，适用于所有 $t<s$。更一般地，若 $p$ 和 $q$ 满足 $(p-1)/(q-1) \leq s/(s-t)$，则热算子是从 $L^p(B,\mu_{s})$ 到 $L^q(B,\mu_{s-t})$ 的压缩算子，其中 $t<s$。我给出了该结果的两个证明，两者都非常初等。