无穷维向量空间 $\mathbb R^\infty$ 上具有平移不变性的热方程与薛定谔方程

$L^2(\mathbb R^n)$ 中的标准拉普拉斯算子 $-\triangle_{\mathbb R^n}$ 在有限维线性空间 $\mathbb R^n$ 上是自伴且平移不变的。本文在 $\mathbb R^\infty$ 上定义一个平移不变算子 $-\triangle_{\mathbb R^\infty}$,作为某不可分 Hilbert 空间 $L^2(\mathbb R^\infty)$ 中的非负自伴算子。集合 $L^2(\mathbb R^\infty)$ 是乘积可测空间 $\mathbb R^\infty$ 上所有复测度集合 $CM(\mathbb R^\infty)$ 的一个平移不变子集。进一步,我们证明对任意 $f\in L^2(\mathbb R^n)$ 与任意 $u\in L^2(\mathbb R^\infty)$,变量分离 $e^{\triangle_{\mathbb R^\infty}t}(f\otimes u) =(e^{\triangle_{\mathbb R^n}t}f)\otimes (e^{\triangle_{\mathbb R^\infty}t}u) \ (t\in [0,+\infty))$ 与 $e^{\sqrt{-1}\triangle_{\mathbb R^\infty}t}(f\otimes u) =(e^{\sqrt{-1}\triangle_{\mathbb R^n}t}f)\otimes (e^{\sqrt{-1}\triangle_{\mathbb R^\infty}t}u) \ (t\in (-\infty,+\infty))$ 成立。这清晰表明 $-\triangle_{\mathbb R^\infty}$ 是 $-\triangle_{\mathbb R^n}$ 的类似物。本文讨论的起点是将 Hilbert 空间的平移不变结构自然引入 $CM(\mathbb R^\infty)$。$L^2(\mathbb R^\infty)$ 是 $CM(\mathbb R^\infty)$ 的闭线性子空间。其内积定义为与 $CM(\mathbb R^\infty)$ 相同。对流形,Hörmander 定义了不依赖于特定测度的内积。事实上,我们将内积引入 $CM(\mathbb R^\infty)$ 的方式是其推广。$\mathbb R^\infty$ 上的统计流形不仅是 $CM(\mathbb R^\infty)$ 的子流形,且实内积 $\mathrm{Re}(\langle \cdot, \cdot \rangle_{CM(\mathbb R^\infty)})$ 诱导出 Fisher 信息度量。