广义有界变差与插入点质量

设 $d\mu$ 为单位圆上的概率测度，$d\nu$ 为向 $d\mu$ 添加一个纯点后形成的测度。基于 Simon 的结果，我们给出了 $d\nu$ 的 Verblunsky 系数的一个简单公式。接着考虑单位圆上的概率测度 $d\mu_0$，其具有有界变差的$\ell^2$ Verblunsky 系数 $(\alpha_n (d\mu_0))_{n=0}^{\infty}$。我们向 $d\mu$ 插入 $m$ 个纯点，重新缩放，并形成概率测度 $d\mu_m$。利用上述公式，我们证明了 $d\mu_m$ 的 Verblunsky 系数形式为 $\alpha_n(d\mu_0) + \sum_{j=1}^m \frac{\ol{z_j}^{n} c_j}{n} + E_n$，其中 $c_j$ 是范数为 1 的常数，独立于纯点的权重且独立于 $n$；误差项 $E_n$ 的量级为 $o(1/n)$。此外，我们证明了 $d\mu_m$ 具有$(m+1)$-广义有界变差——这是本文引入的一个概念。然后利用这一事实证明了 $\lim_{n \to \infty} \vp_n^*(z, d\mu_m)$ 是连续的，并且在远离纯点处等于 $D(z, d\mu_m)^{-1}$。