三次多项式的复比值

设 $p(w)=(w-w_{1})(w-w_{2})(w-w_{3})$,其中 $\operatorname{Re}w_{1}<\operatorname{Re}w_{2}<\operatorname{Re}w_{3}$。假设若 $p$ 的临界点不相同,则它们不能具有相等的实部。定义比值 $\sigma_{1}=\dfrac{z_{1}-w_{1}}{w_{2}-w_{1}}$ 与 $\sigma_{2}=\dfrac{z_{2}-w_{2}}{w_{3}-w_{2}}$。$(\sigma_{1},\sigma_{2})$ 称为 $p$ 的\emph{比值向量}。这推广了先前论文中针对所有根均为实数的 $n$ 次多项式所给出的比值向量的定义。随后我们推导了这些比值的实部、虚部与模的界,以及比值之间的若干关系。特别地,我们证明了 $\operatorname{Re}\sigma_{1}\leq\operatorname{Re}\sigma_{2}$。我们还证明了当且仅当 $p$ 的根共线时,这些比值为实数。