具有随机初始度的优先连接模型

本文研究一类随机图过程 $\{G(t)\}_{t\ge 1}$,并对其度序列进行分析。设 $(W_t)_{t\ge 1}$ 为一列独立同分布随机变量。该图过程定义如下:在每个整数时刻 $t$,向图中加入一个新顶点,并附带 $W_t$ 条边;在时刻 $t$ 新增的各条边以优先连接方式连向较老的顶点,即在给定 $G(t-1)$ 的条件下,某条边与顶点 $i$ 相连的概率与 $d_i(t-1)+\delta$ 成正比,其中 $d_i(t-1)$ 为顶点 $i$ 在时刻 $t-1$ 的度,且各条边之间相互独立。主要结果表明:该过程的渐近度序列服从幂律,其指数为 $\tau=\min\{\tau_{W},\tau_{P}\}$,其中 $\tau_{W}$ 为初始度序列 $(W_t)_{t\ge 1}$ 的幂律指数,$\tau_{P}$ 为纯优先连接模型所预言的指数。该结果推广了 Cooper 与 Frieze 的已有工作,文中亦对相关文献进行了综述。