非碰撞布朗运动与行列式过程

一个被条件限制为永不相互碰撞的一维布朗运动（BM）系统，可以实现为（i）Dyson BM模型，即高斯酉系综（GUE）中埃尔米特矩阵值扩散过程的特征值过程；以及（ii）Weyl chamber中吸收BM的 $h$-变换，其中调和函数 $h$ 是变量差的乘积（Vandermonde 行列式）。Karlin-McGregor 公式给出了吸收BM转移概率密度的行列式表达式。我们从 Karlin-McGregor 公式证明，如果初始状态处于 GUE 的特征值分布中，则非碰撞 BM 是一个行列式过程，意即任何多时相关函数均由一个矩阵核指定的行列式给出。通过取适当的标度极限，推导出了空间齐次和非齐次的无穷行列式过程。我们指出，与非碰撞粒子系统相关的行列式过程有一个共同特征，即矩阵核可以使用适当有效哈密顿量的谱投影来表达。基于矩阵核的共同结构，证明了过程在时间上的连续性，并讨论了行列式过程的一般性质。