zonotope 代数

给定 $\R^N$ 的线性自同态 $X$，其丰富的几何与组合性质体现在对其关联 zonotope $Z(X)$ 的研究中，并通过对其关联超平面排列 ${\cal H}(X)$ 的对偶性得以捕捉。当 $n\eqbd\rank X \ll N$ 时，这一众所周知的研究路线尤为有趣。我们将此研究提升至代数层面，将 $X$ 与三种代数结构相关联，此处称为{\it 外部、中心和内部}。每种代数结构均由一对 $n$ 元齐次多项式理想给出，它们互为对偶：一个编码排列 ${\cal H}(X)$ 的性质，另一个通过对偶编码 zonotope $Z(X)$ 的性质。这些代数结构纯粹根据 $X$ 的组合结构定义，但随后被证明同样可通过对 $Z(X)$ 或 ${\cal H}(X)$ 施加合适的代数解析运算而获得。该理论具有普适性，因为它不对映射 $X$ 做任何假设（唯一的例外是，仅当 $X$ 为幺模时，对 $Z(X)$ 的代数解析运算才能产生预期结果），并提供了可用于枚举组合学、图论、表示论、多面体几何和逼近论的新工具。