一般斜多项式的带重数零点、Hasse 导数与线性因子

本文研究斜多项式零点的重数。考虑两种不同的定义:第一,若 $(x-a)^r$ 右整除 $F$,则称 $a$ 为 $F$ 的 $r$ 重零点;第二,若存在斜多项式 $P = (x-a_r) \cdots (x-a_2) (x-a_1)$,其唯一右零点为 $a_1 = a$,且 $P$ 右整除 $F$,则称 $a$ 为 $F$ 的 $r$ 重零点。对于一般斜多项式,这两种概念互不蕴含。我们表明,在第一种情形下,Lam 与 Leroy 的 P-无关性概念表现不自然,而并集定理仍成立。相反,我们证明 P-无关性对第二种重数概念表现自然。作为推论,我们将经典交换环上的结果推广至一般斜多项式。这些包括:(1) 斜多项式的(P-无关)零点个数(计重数)以其次数为上界;(2) P-无关性、Hermite 插值与合流 Vandermonde 矩阵的可逆性等价(为此我们引入斜多项式 Hasse 导数)。