Teichmüller 测地线的词长统计与调和测度的奇异性

给定 Teichmüller 空间 Thurston 边界上的一个测度，可以选择一条连接某个基点到边界上随机选取点的测地射线。不同的测度选择可能会产生具有不同几何性质的典型测地线。特别地，我们考虑两类测度族：属于 Lebesgue 或视觉测度类的测度，以及由字度量中具有有限一阶矩的分布生成的映射类群上随机游走的调和测度。我们考虑沿测地射线逼近的映射类群元素的字度量与相对度量之比，并证明该比率在几乎所有关于 Lebesgue 测度的测地线上趋于无穷大，而在几乎所有关于调和测度的测地线上极限是有限的。作为推论，我们确立了调和测度的奇异性。我们对具有尖点的余有限体积 Fuchs 群展示了相同的结果。作为一个应用，我们回答了 Deroin-Kleptsyn-Navas 关于 Lyapunov 展开指数消失的问题。