调和圈的绕数与割数

调和圈 $\lambda$（亦称离散调和形式）是拉普拉斯方程在由链复形的边界算子得到的组合拉普拉斯算子下的解。根据组合霍奇理论，调和空间同构于带实系数的同调群。特别地，若一个胞腔复形具有一维约化同调，则它存在唯一的（相差一个标量倍数的）调和圈，我们称之为\emph{标准调和圈}。在本文中，我们将基于圈树的高维推广给出胞腔复形的标准调和圈 $\lambda$ 的一个公式。此外，利用对偶性，我们将定义标准调和上圈 $\lambda^*$，并展示 $\lambda$ 与 $\lambda^*$ 在涉及高维（对偶）生成树、（对偶）圈树、绕数 $w(\cdot)$ 与割数 $c(\cdot)$ 时所表现出的引人入胜的组合性质。