Widom猜想：自由费米子计数统计的方差渐近性与熵界

我们得到了$\mathbb{R}^n$光滑区域中自由费米子体态计数统计的中心极限定理，并给出了协方差结构的显式描述。这相当于研究半经典薛定谔算子的谱投影算子与支撑在体态内的指示函数之间的交换子范数的渐近行为。遵循Widom猜想的精神，我们证明了当半经典参数$\hbar$趋于$0$时，这些交换子的Hilbert-Schmidt范数的平方阶为$\hbar^{-n+1}\log(\hbar)$。我们还给出了这些交换子迹范数的一个新上界，以及其在自由费米子纠缠熵估计中的应用。