斜积何时存在？

平面布朗运动的经典斜积分解在极坐标下将该过程表示为一个自主马尔可夫的径向部分和一个角部分，其中角部分是单位圆上的独立布朗运动，并根据径向部分进行了时间变换。Liao (2009) 的定理 4 将这一事实广泛推广到了如下情形：流形 $X$ 上存在一个扩散过程，其分布在李群 $K$ 的光滑作用下是等变的。在适当条件下，存在一种分解，包含一个生活在 $K$ 轨道空间上的自主马尔可夫“径向”部分，以及一个在齐性空间 $K/M$ 上的独立布朗运动“角”部分（其中 $M$ 是点 $x$ 的各向同性子群），该角部分经过了适应于径向部分滤子的时间变换。我们提出了 Liao (2009) 定理 4 的两个表面反例。在第一个反例中，角部分不是 $K/M$ 上任何布朗运动的时间变换；而在第二个反例中，角部分是 $K/M$ 上布朗运动的时间变换，但该布朗运动并不独立于径向部分。在这两个例子中，$K/M$ 的维数均为 1。当 $K/M$ 的维数大于 1 时，Liao (2009) 定理 4 的陈述和证明仍然有效。我们的例子提出了这样的问题：当 $K/M$ 维数为 1 时，什么条件会导致通常类型的斜积分解，什么条件会导致根本不存在分解，或者导致角部分是时间变换的布朗运动但该布朗运动不独立于径向部分的分解。