稀疏对抗性损坏下的恢复：线性测量的无假设理论

稀疏对抗性损坏下的恢复通常形式化为精确恢复问题：寻找 $A$ 的结构条件（例如受限等距性）以保证从 $y = A x^* + e$ 唯一恢复 $x^*$，其中 $||e||_0 \leq q$。然而，在实际中，这些条件很少满足且难以验证，现有的保证一旦精确恢复失败便无从提供指导。此限制掩盖了甚至简单的鲁棒性现象——例如，$A$ 中的重复行可以在稀疏损坏下保留关于 $x^*$ 的非平凡信息。在本文中，我们回答更一般的问题：对于任意 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，在任何 $q$-稀疏对抗性损坏 $e$ 下，关于 $x^*$ 的哪些信息仍保持鲁棒性？我们表明，鲁棒信息正是 $x^* + \ker(U)$，其中 $U$ 是到所有删除 $2q$ 行后子矩阵行空间交集的正交投影。这一表征阐明了对于每个稀疏度 $q$，行结构如何决定 $q$-稀疏 $e$ 允许精确恢复、部分恢复还是仅平凡恢复，从而扩展了标准的精确恢复框架。我们进一步证明，每个最小化 $||y - A x||_0$ 的 $x$ 都属于 $x^* + \ker(U)$，从而提供一种构造性的方法来恢复该集合。对于 i.i.d. 高斯 $A$，我们显示存在尖锐相位转变：根据 $m$、$n$ 和 $q$，要么满足精确恢复，要么不可能实现非平凡恢复。我们概述两种应用：鲁棒网络测绘和来自过采样 DCT 测量的信号重建。