由多重 zeta 星值洗牌积得到的加权和公式

本文中，我们将对 $Z_-(n) = \sum_{a+b=m} (-1)^{b} \zeta(\{1\}^{a},b+2)$ 与 $Z_+^\star(n) = \sum_{c+d=n} \zeta^{\star}(\{1\}^{c},d+2)$ 执行洗牌积，其中 $m+n = p$。所得洗牌关系是一个加权和公式，由下式给出 \begin{equation*} \frac{(p+1)(p+2)}{2} \zeta(p+4) =\sum_{m+n=p} \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|=p+3} \zeta(\alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}, \alpha_{m+1}+1) \sum_{a+b+c=m} \Bigl( W_{\boldsymbol\alpha}(a,b,c) + W_{\boldsymbol\alpha}(a,b,c=0) + W_{\boldsymbol\alpha}(a=0,b,c) + W_{\boldsymbol\alpha}(a=0,b=m,c=0) \Bigr), \end{equation*} 其中 $W_{\boldsymbol\alpha}(a,b,c) = 2^{\sigma(a+b+1)-\sigma(a)-(b+1)} (1-2^{1-\alpha_{a+b+1}}\ \ )$，且 $\sigma(r) = \sum_{j=0}^{r} \alpha_{j}$。