紧致黎曼流形上的加权最小 $\ell_p$ 逼近

给定紧致空间上 $L_2$ 中的一系列 Marcinkiewicz-Zygmund 不等式，Gröchenig 在文献 \cite{G} 中讨论了加权最小二乘逼近和最小二乘求积。受此工作启发，对于所有 $1\le p\le\infty$，我们在具有归一化黎曼测度的紧致光滑黎曼流形 $\Bbb M$ 上（典型例子是环面和球面），开发了由 $L_p$ 中的一系列 Marcinkiewicz-Zygmund 不等式诱导的加权最小 $\ell_p$ 逼近。在本文中，我们推导了相应的逼近定理，误差在 $L_q,\,1\le q\le\infty$ 中度量，并给出了由与 Laplace-Beltrami 算子相关的特征函数生成的 Sobolev 空间 $H_p^r(\Bbb M), \, r>d/p$ 和由最佳多项式逼近定义的 Besov 空间 $B_{p,\tau}^r(\Bbb M),\, 0<\tau\le \infty, r>d/p$ 的最小求积误差。最后，我们通过给出上述空间的采样数和最优求积误差的尖锐估计，讨论了所得结果的最优性。