球与球面上加权 $\ell_q$ 逼近问题

设 $L_{q,\mu},\, 1\le q<\infty, \ \mu\ge0,$ 表示球 $\Bbb B^d$ 上带经典 Jacobi 权 $w_\mu$ 的加权 $L_q$ 空间。我们考虑给定 $\Bbb B^d$ 上 $L_{q,\mu}$-Marcinkiewicz-Zygmund 族的加权最小 $\ell_q$ 逼近问题。我们得到加权 Sobolev 空间 $W_{q,\mu}^r$（$r>(d+2\mu)/q$）的加权最小 $\ell_q$ 逼近误差，其为阶最优的。我们还讨论了由 $L_{2,\mu}$-Marcinkiewicz-Zygmund 族诱导的最小二乘求积，并得到 $W_{2,\mu}^r$（$r>(d+2\mu)/2$）的求积误差，其同样为阶最优。同时，我们给出了球面上相应的加权最小 $\ell_q$ 逼近定理与最小二乘求积误差。