有限群左陪集上左不变随机游走的弱 lumping

设 $G$ 为有限群，$H$ 为 $G$ 的子群。由 $G$ 上的概率测度 $w$ 驱动的左不变随机游走是一个马尔可夫链，其中从任意状态 $x \in G$ 出发，步进到 $xg \in G$ 的概率为 $w(g)$。初始状态根据给定分布随机选择。如果诱导过程在 $G/H$ 上是时间齐次马尔可夫链，则称该游走在左陪集上弱 lumping。我们刻画了所有使得游走不可约且在左陪集上弱 lumping 的初始分布和权重 $w$，并确定了诱导马尔可夫链的所有可能转移矩阵。在 $H$ 为阿贝尔群的情况下，我们通过由双陪集 $HxH$ 组织的关于 $w$ 的显式线性方程组，给出了弱 lumping 的充要条件。作为应用，我们考虑一副 $n$ 张牌的洗牌，使得重复观察顶牌形成一个马尔可夫链。这样的洗牌包括 random-to-top 洗牌，以及当牌堆以均匀随机顺序开始时，top-to-random 洗牌。我们给出了另一个例子族，其中需要我们的弱 lumping 完整理论来验证顶牌序列是马尔可夫的。