半黎曼流形上低正则性Cartan结构系统的弱连续性及补偿紧致性

我们关注半黎曼流形上低正则性Cartan结构系统——或等价地，Gauss--Codazzi--Ricci系统——的全局弱连续性。为此，我们首先在半黎曼流形上低正则性的向量丛上表述并证明了一个几何补偿紧致定理（定理3.2），推广了经典的二次补偿紧致定理。随后我们推导出Cartan结构系统在 $p>2$ 时的 $L^p$ 弱连续性：对于半黎曼流形 $(M,g)$ 上的一族联络 $1$-形式 $\{\mathcal{W}_\varepsilon\}$，若 $\{\mathcal{W}_\varepsilon\}$ 在 $L^p$ 中一致有界并满足Cartan结构系统，则 $\{\mathcal{W}_\varepsilon\}$ 的任意弱 $L^p$ 极限也是Cartan结构系统的解。此外，证明了半黎曼流形到半欧氏空间的等距浸入可由Cartan结构系统或Gauss--Codazzi--Ricci系统的弱解构造（定理5.1），由此得到半黎曼流形上Gauss--Codazzi--Ricci系统的 $L^p$ 弱连续性。作为进一步应用，还建立了Einstein约束方程、一般浸入超曲面及拟线性波动方程的弱连续性。